Kemampuan itu terlihat di dalam empat aspek keterampilan. Keempat aspek itu adalah mendengarkan, berbicara, membaca, dan menulis. Kemampuan mendengarkan dan membaca disebut kemamampuan reseptif sedangkan kemampuan berbicara dan menulis dinamakan kemampuan produktif. Kemampuan reseptif dan kemampuan produktif dalam berbahasa merupakan dua sisi yang saling mendukung, saling mengisi, dan saling melengkapi.

Seseorang yang ingin mengembangkan kemampuan berbicara dan menulis, mestilah banyak mendengar dan membaca. Oleh karena, dengan mendengar dan membaca akan diperoleh informasi untuk dibicarakan dan dituliskan. Mengembangkan kemampuan mendengar dan membaca, seyogyanya pula diawali dengan kegiatan berbicara dan menulis. Begitulah keempat aspek berbahasa itu saling mendukung.

Menulis seperti halnya kegiatan berbahasa lainnya, merupakan keterampilan. Setiap keterampilan hanya akan diperoleh melalui berlatih. Berlatih secarasistematis, terus-menerus, dan penuh disipilin merupakan resep yang selalu disarankan oleh praktisi untuk dapat atau terampil menulis. Tentu saja bekal untuk berlatih bukan hanya sekedar kemauan, tetapi juga ada bekal lain yang perlu dimiliki. Bekal lain itu adalah pengetahuan, konsep, prinsip, dan prosedur yang harus ditempuh dalam kegiatan menulis. Jadi ada dua hal yang diperlukan untuk mencapai ketrampilan menulis yakni pengetahuan tentang tulis-menulis dan berlatih untuk menulis.

Guru bahasa Indonesia memiliki tanggung jawab untuk membimbing peserta didiknya agar terampil menulis. Sepanjang hari, sepanjang minggu, sepanjang bulan, dan sepanjang tahun guru bahasa Indonesia membelajarkan peserta didiknya dalam menulis. Pada dasarnya guru telah memiliki bekal yang dua tadi. Guru diasumsikan telah memiliki pengetahuan dan keterampilan menulis. Dengan modal pengetahuan dan keterampilan itulah mereka membimbing dan membelajarkan peserta didiknya. Dengan asumsi itu pula, tidak aka nada peserta didik hasil bimbingan guru yang tidak terampil menulis.

Selengkapnya lihat di sini Pembelajaran Menulis

Pada hakikatnya belajar bahasa adalah belajar berkomunikasi. Oleh karena itu, pembelajaran bahasa Indonesia diarahkan untuk meningkatkan kemampuan siswa dalam berkomunikasi dengan bahasa Indonesia baik secara lisan maupun tertulis. Dalam pembelajarannya keempat aspek keterampilan berbahasa disajikan dalam porsi yang seimbang dan dilaksanakan secara terpadu. Bahan pembelajaran pemahaman diambil dari bahan mendengarkan dan membaca, yang meliputi pengembangan kemampuan untuk menyerap gagasan, pendapat, pengalaman, pesan, dan perasaan yang dilisankan atau ditulis. Bahan pemahaman tersebut mencakup pula karya sastra, baik asli Indonesia maupun terjemahan (daerah/asing).

Keterampilan membaca adalah salah satu keterampilan reseptif di samping keterampilan mendengarkan. Sebagai salah satu keterampilan reseptif, membaca merupakan komponen pemahaman Dalam kegiatan pembelajaran membaca, selain guru dituntut untuk memahami kurikulum yaitu memahami dan menguasai materi pembelajaran, guru juga harus mampu merancang pembelajaran yang menyenangkan dan bermakna.

Pada akhirnya, pada saat pelaksanaan pembelajaran membaca, guru tidak sekadar menugasi siswa membaca (dalam hati) kemudian mengerjakan tugastugas yang ada dalam wacana tersebut. Berdasarkan hal itulah, modul (suplemen) ini disusun untuk melengkapi bahan belajar mandiri (BBM) yang telah ada. Modul ini khusus tentang membaca dan pembelajarannya. Pada akhirnya, dengan membaca modul (suplemen) ini, guru akan lebih memahami konten (isi) tentang membaca dan dapat menyampaikannya dalam kegiatan pembelajaran di kelas.

Selengkapnya lihat di sini  PEMBELAJARAN MEMBACA

Seorang yang mahir atau terampil berkomunikasi dengan tetanggga atau temannya belum tentu mampu mampu menggunakan bahasa Indonesia untuk berpidato pada suatu upacara. Kemampuan berbicara pada situasi takformal seperti pada berbincang-bincang dengan tetangga atau temannya itu tidak sama dengan kemampuan berbahasa Indonesia (berbicara) pada situasi
formal.

Kemampuan berbahasa (berbicara) ragam formal tidak akan diperoleh dengan sendirinya. Kemampuan ini harus direnggut lewat jalur sekolah, lewat program yang direncanakan secara khusus, dan lewat latihan-latihan. Bahasa sebagai alat komunikasi digunakan melelui kegiatan mendengarkan, berbicara, membaca, dan menulis. Kegiatan yang paling praktis dan taktis untuk melakukan komunikasi ialah berbicara. Di mana saja, kapan saja, dan siapa saja berbicara untuk berkomunikasi. Bahkan terhadap bayi yang belum mampu berbahasa pun orang menyapa dengan bahasa. Oleh karena itu, guru yang mengajarkan keterampilan berbahasa (dengan fokus berbicara) diharapkan dapat memberikan dorongan kepada peserta didik melalui perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran bahasa Indonesia dengan baik.

Baca Selengkapnya di Pembelajaran Berbicara di SD

Beberapa penelitian menyimpulkan, Burhan (1971:83) menyatakan bahwa “Pada umumnya orang setiap hari menggunakan waktu komunikasinya 45% untuk mendengarkan, 30% untuk berbicara, 16% untuk membaca, dan 9% untuk menulis.” Tompkins dan Hoskisson (1991:121) menyatakan bahwa “Seseorang menggunakan waktu komunikasinya 50% untuk mendengarkan dan 50% untuk berbicara, membaca, dan menulis.”

Peranan kemampuan mendengarkan yang baik dalam berbagai kehidupan nyata sangat penting. Burhan (1971:82) menjelaskan, ”Kepandaian mendengarkan penting sekali peranannya dalam kehidupan manusia. Dalam lapangan apapun kita bekerja dan perbuatan kita sehari-hari akan lebih banyak ditentukan oleh apa yang kita dengar daripada yang kita lihat dan kita rasakan.”

Goleman (2001:224) menyimpulkan bahwa “Kemampuan mendengarkan yang baik diperlukan secara mutlak demi keberhasilan suatu pekerjaan. Hasil suatu pekerjaan dapat jauh lebih baik jika kita menyimak dan menghargai sudut pandang lawan bicara.”

Schilling (2 Januari 2006) menyatakan bahwa kemampuan mendengarkan yang efektif sangat membantu dalam membangun hubungan dan karier; memahami dan memecahkan masalah/konflik; mengembangkan akal dan rasa percaya diri; serta menyelamatkan uang dan pernikahan. Berdasarkan pendapat-pendapat di atas dapat dinyatakan bahwa kemampuan menyimak yang efektif mutlak diperlukan dalam kehidupan nyata.

Dalam proses pembelajaran mata pelajaran apapun akan terjadi komunikasi antara guru dengan siswa atau antara siswa dengan siswa. Selama proses komunikasi berlangsung baik siswa maupun guru akan menggunakan kemampuan mendengarkan dengan sebaik-baiknya. Siswa harus dapat menangkap dan memahami dengan benar informasi yang disampaikan oleh guru atau siswa yang lainnya. Siswa yang tidak memiliki kemampuan mendengarkan yang efektif akan salah memahami atau menafsirkan informasi tersebut. Akibatnya siswa akan memperoleh dan memiliki pengetahuan yang salah.

Burhan (1971:83) menjelaskan bahwa “Kemampuan mendengarkan sangat penting dalam kehidupan anak di masyarakat dalam jabatan apapun dia bekerja.” Itulah sebabnya, kemampuan mendengarkan yang baik mutlak dimiliki oleh siswa sebagai kemampuan dasar untuk mempelajari berbagai pengetahuan. Uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kemampuan mendengarkan yang efektif mutlak diperlukan oleh manusia dalam menjalani kehidupannya.

Burhan (1971:82) menjelaskan,”…sudah pada tempatnya faktor pandai mendengarkan mendapat perhatian yang sepatutnya di sekolah. Kemampuan dasar mendengarkan yang telah dibawa si anak sejak lahir harus dikembangkan dengan sebaik-baiknya.” Guru bahasa Indonesia pun selayaknya memberikan perhatian yang lebih terhadap pembelajaran mendengarkan daripada pembelajaran kemampuan berbahasa yang lain.

Proses pembelajaran mendengarkan yang dilakukan oleh guru di kelas untuk menyampaikan materi pembelajaran yang tertulis dalam buku sumber melalui metode ceramah dan atau tanya jawab. Hasil belajar yang diperoleh siswa adalah berupa pengetahuan yang tertulis dalam buku sumber tersebut yang berupa informasi, konsep, atau teori tentang konsep mendengarkan. Instrumen evaluasi pembelajaran mendengarkan yang digunakan oleh guru berupa pertanyaan-pertanyaan tentang konsep mendengarkan, bukan menuntut siswa untuk meningkatkan kemampuan mendengarkannya.

Berdasarkan uraian fakta di atas, maka dapat dikatakan bahwa proses pembelajaran yang dilakukan oleh guru dan siswanya dalam pembelajaran mendengarkan hanya untuk meningkatkan kemampuan menghapal, bukan untuk meningkatkan kemampuan mendengarkan. Kita pun telah mengetahui, Badan Standar Nasional Pendidikan (2006:10) menjelaskan bahwa ”Kegiatan pembelajaran harus dapat mendukung tumbuh kembangnya pribadi peserta didik yang berjiwa kewirausahaan dan mempunyai kecakapan hidup.” Ini berarti bahwa pembelajaran di sekolah harus bermakna bagi siswa. Maksudnya adalah bahwa pembelajaran harus sebagai upaya guru dalam memberikan bekal bagi siswa untuk menjalani kehidupannya sehari-hari. Kita pun tahu bahwa dalam (Sisdiknas, 2003:psl.40) menjelaskan bahwa “guru berkewajiban menciptakan suasana pembelajaran yang bermakna, menyenangkan, kreatif, dinamis, dan dialogis.”

Berdasarkan tuntutan BSNP dan Sisdiknas, (2003:psl.40) di atas, dapat dikatakan bahwa proses  pembelajaran yang dilakukan oleh guru dan siswanya untuk meningkatkan kemampuan berpikir deduktif dan induktif serta meningkatkan kemampuan cara memperoleh pengetahuan dan kemampuan menerapkan pengetahuannya dalam kehidupan sehari-hari. Siswa yang berprestasi adalah siswa yang memiliki kemampuan berpikir deduktif dan induktif serta memiliki kemampuan memperoleh pengetahuan dan kemampuan menerapkan pengetahuannya dalam kehidupan sehari-hari, sebagai bekal
dalam menjalani kehidupannya pada masa kini dan yang akan datang.

Baca Selengkapnya di Pembelajaran Mendengarkan

Berdasarkan pengalaman penulis  membelajarkan peserta didik supaya terampil perkalian dan pembagian dasar masih menjadi masalah di lapangan. Masalah yang dimaksud adalah peserta didik sulit memahami dan sulit diajak terampil perkalian dasar (perkalian dua bilangan satu angka). Kesalahan itu selanjutnya dibebankan pada guru kelas II. Hal yang sama berlaku untuk pembagian dasar di kelas II. Akibatnya pelajaran perkalian dan pembagian lanjut di kelas-kelas berikutnya mengalami kesulitan. Sementara perkalian dan pembagian harus dikuasai peserta didik sejak dini karena selalu terkait dengan pelajaran matematika di kelas-kelas berikutnya bahkan hingga jenjang yang lebih tinggi.

Diduga hal itu terjadi karena pembelajaran awalnya tidak kontekstual dalam arti tidak mengaitkan permasalahan dengan konteks kehidupan nyata yang dikenal peserta didik sehari-hari. Pengalaman penulis terhadap anaknya sendiri menunjukkan hanya dalam waktu satu minggu, anak merasa senang, dan mampu menghafal perkalian dasar. Pengalaman tersebut akan disampaikan lebih lanjut dalam modul ini.

Secara garis besar tulisan ini mengacu pada langkah-langkah pembelajaran menggunakan teori pembelajaran yang dikemukakan oleh Bruner, seorang tokoh psikologi pembelajaran dari Amerika Serikat. Langkah-langkah pembelajarannya dimulai dari konkret (enactive), semi konkret (econic), dan diakhiri dengan abstrak (symbolic).

Selengkapnya, download di sini : Pem. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian Bil.Cacah di SD

Banyak di antara kita yang mungkin bertanya-tanya mengapa pengukuran perlu diajarkan bagi peserta didik di sekolah dasar? Ditinjau dari segi kemanfaatan, alat-alat pengukuran dan keterampilan dalam pengukuran dapat digunakan dalam kehidupan peserta didik di masa mendatang. Peserta didik diharapkan juga dapat menghubungkan antara pengukuran dengan lingkungan, seperti menggunakan penggaris, termometer, gelas ukur, skala, dan sebagainya. Pengukuran memberikan peserta didik aplikasi yang praktis untuk keterampilan berhitung yang telah mereka
pelajari. Pengukuran juga menyediakan suatu cara untuk menghubungkan antara konsep-konsep dasar geometri dengan konsep-konsep bilangan. Dengan kata lain, pengukuran akan sangat bermanfaat untuk mempelajari mata pelajaran lainnya, seperti: geografi, sains, seni, musik, dan sebagainya.

Menurut standar isi mata pelajaran matematika materi pengukuran terdiri dari 12 standar kompetensi (SK) dan 36 kompetensi dasar (KD), meliputi: pengukuran waktu, panjang, berat, sudut, dan kuantitas menghitung keliling, luas, dan volum, satuan ukuran dan hubungan antar satuan ukuran, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan waktu, jarak, dan kecepatan.

Selengkapnya, Download di sini : PEMB. PENGUKURAN LUAS BGN DATAR&VOL. BGN RUANG DI SD

Berdasarkan hasil diskusi peserta diklat guru pemandu matematika SD di PPPPTK Matematika diperoleh informasi bahwa pada pelaksanaan pembelajaran matematika di SD guru dominan menggunakan metode ceramah dan pendekatan yang bersifat abstrak. Akibatnya peserta didik cenderung pasif dan kurang memahami obyek-obyek matematika yang dipelajari (fakta, konsep, prinsip dan keterampilan). Diduga salah satu penyebab dari keadaan tersebut adalah kurangnya kompetensi guru terutama kompetensi profesional dan pedagogik. Di sisi lain guru masih dituntut untuk mewujudkan pembelajaran yang Aktif, Kreatif, Efektif dan Menyenangkan (PAKEM). Salah satu komponen penunjang untuk mewujudkan PAKEM adalah bahan tertulis yang mudah digunakan oleh guru. Oleh karena itu modul berjudul “Pembelajaran Operasi Perkalian dan Pembagian Pecahan” ini ditulis untuk membantu guru dalam mencapai tujuan pembelajaran yang terkait operasi perkalian dan pembagian pecahan

Selengkapnya download di : PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG PERKALIAN & PEMBAGIAN PECAHAN SD

Anak-anak Sekolah Dasar (SD) yang berumur antara tujuh sampai dengan 12 tahun pada dasarnya perkembangan intelektualnya termasuk dalam tahap operasional kongkret, sebab berfikir logiknya didasarkan atas manipulasi fisik dari obyek-obyek. Dengan kata lain penggunaan media (termasuk alat peraga) dalam pembelajaran matematika di SD memang diperlukan, karena sesuai dengan tahap berpikir anak. Dengan menggunakan media/alat peraga tersebut anak akan lebih menghayati matematika secara nyata berdasarkan fakta yang jelas dan dapat dilihatnya. Sehingga anak lebih mudah memahami topik yang disajikan. Namun kenyataan yang terjadi di sekolah (berdasar hasil observasi dan tanya jawab dengan peserta pelatihan guru pemandu matematika SD se Indonesia di PPPPTK Matematika mulai tahun 1995) menunjukkan bahwa pembelajaran matematika jarang menggunakan media/alat peraga.

Salah satu penyebab yang terdeteksi adalah guru kurang bisa mengembangkan diri dalam pemanfaatan dan pengembangan media/alat peraga. Oleh sebab itu perlu kiranya pada penulisan modul kali ini para guru SD diberikan bekal alternatif pembelajaran dengan memanfaatkan media/alat peraga yang mengaktifkan peserta didik dengan pendekatan PAKEM yaitu pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif, dan menyenangkan.

Selengkapnya : Silahkan download di sini Pemanfaatan Alat Peraga Matematika dalam Pembelajaran SD

A. Pengertian Matematika

Kata matematika berasal dari perkataan latin matematika yang mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal kata dari mathema yang berarti pengetahuan dan ilmu atau knowledge, science. Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar atau berpikir.

Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir atau bernalar. Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio atau penalaran, bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran. Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika. Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein dan mathenem yang berarti mempelajari. Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata sansekerta, medha atau widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensi.

Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.

Hudoyo mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.

Berdasarkan uraian di atas, agar supaya simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik B( 6, 9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9. Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.

1. Definisi para ahli mengenai Matematika

a. Nasution, 1980

Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein dan mathenem yang berarti mempelajari. Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata sansekerta, medha atau widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensi.

b. James dan James, 1976

Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

c. Russefendi, 1989

Matematika itu terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma dan dalil-dalil yang dibuktikan kebenarannya, sehingga matematika disebut ilmu deduktif.

d. Johnson dan Rising, 1972 dalam Rusefendi, 1988

Matematika merupakan pola berfikir, pola mengorganisasikan pembuktian logic, pengetahuan struktur yang terorganisasi memuat sifat-sifat, teori-teori di buat secara deduktif berdasarkan unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya.

e. Kline, 1973, dalam Rusefendi, 1988

Matematika bukan pengetahuan tersendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi beradanya karena untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam.

f. Dienes , dalam Ruseffendi, 1988

Matematika adalah ilmu seni kreatif. Oleh karena itu, matematika harus dipelajari dan diajarkan sebagai ilmu seni.

g. Sujono, 1988

Mengemukakan beberapa pengertian matematika. Di antaranya, matematika diartikan sebagai cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Selain itu, matematika merupakan ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan. Bahkan dia mengartikan matematika sebagai ilmu bantu dalam menginterpretasikan berbagai ide dan kesimpulan.

h. Bourne, dalam Romberg, 1992

Matematika sebagai konstruktivisme sosial dengan penekanannya pada knowing how, yaitu pebelajar dipandang sebagai makhluk yang aktif dalam mengkonstruksi ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan lingkungannya. Hal ini berbeda dengan pengertian knowing that yang dianut oleh kaum absoluitis, di mana pebelajar dipandang sebagai mahluk yang pasif dan seenaknya dapat diisi informasi dari tindakan hingga tujuan.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada didalamnya. Ini berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep, struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya. Ciri khas matematika yang deduktif aksiomatis ini harus diketahui oleh guru sehingga mereka dapat membelajarkan matematika dengan tepat, mulai dari konsep-konsep sederhana sampai yang kompleks.

B. Matematika adalah ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode yang pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metodeinduktif dan eksperimen.

Walaupun dalam mtematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi sterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa di buktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudahnya dibuktikan secara deduktif.

Berikut adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika. Dalil atau generalisasi dibenarkan dalam matematika karena sudah dapat dibuktikan secara deduktif.

- Contoh 1

Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap. Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, bai ganjil positif atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.

+ 1 3 -5 -7

1 2 4 -4 6

3 4 6 -2 10

-5 -4 -2 -10 2

-7 8 10 2 14

Dari tabel diatas, terlihat bahwa untuk setiap bilangan dua ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Pembuktian dengan cara induktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :

Misalkan :

a dan b adalah sembarangan bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap genap, maka 2a + 1 bilangan 2b + 1 bilangan ganjil.

Jika dijumlahkan :

(2a + 1 ) + (2b + 1) =

2a + 2b + 2 =

2 (a + b + 1) =

Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga 2 (a + b + 1) adalah bilangan genap.

Jadi bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)

- Contoh 2

Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800.

Misalkan :

Siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 1800, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800, sebelum membuktikan secara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :

d c

a

b

Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk 1 , 2 , 3 , 4 , 5.

1 + 2 + 3 = 1800 (membentuk sudut lurus)

1 = 4 (sudut-sudut bersebrangan dalam)

3 = 5 (sudut-sudut bersebrangan dalam)

Maka : 1 + 2 + 3 = 4 + 2 + 5 = 1800

Karena 4 + 2 + 5 merupakan jumlah dari ketiga buah sudut pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800.

Kesimpulan yang didapat dengan cara deduktif ini barulah dapat dikatakan dalil atau generalisasi.

Dalil-dalil dan rumus matematika itu ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.

Pada pembelajaran matematika di SD pembuktian dengan cara deduktif masih sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melakukan eksperimen (metode induktif). Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan benda-benda konkrit (nyata). Untuk pembuktian deduktif masih sulit dilaksanakan karena pembuktian deduktif lebih abstrak dan menuntut siswa mempunyai pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya.

Contoh : Pada pembuktian bilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah mengerti bilangan ganjil, genap, bulat dan dapat menyelesaikan dalam bentuk umum bilangan-bilangan tersebut.

Matematika yang merupakan ilmu deduktif, aksiomatik, formal, hirarkis, abstrak, bahasa symbol yang padat arti dan semacamnya adalah sebuah system matematika. Sistem matematika berisikan model-model yang dapat digunakan untuk mengatasi persoalan-persoalan nyata. Manfaat lain yang menonjol adalah matematika dapat membentuk pola pikir orang yang mempelajarinya menjadi pola piker matematis yang sistematis, logis, kritis dengan penuh kecermatan.

Selain mengetahui karakteristik matematika, guru SD perlu juga mengetahui taraf perkembangan siswa SD secara baik dengan mempertimbangkan karakteristik ilmu matematika dan siswa yang belajar. Anak usia SD sedang mengalami perkembangan dalam tingkat berfikirnya. Taraf berfikirnya belum formal dan relatif masih kongkret, bahkan untuk sebagian anak SD kelas rendah masih ada yang pada tahap pra-kongkret belum memahami hokum kekekalan, sehingga sulit mengerti konsep-konsep operasi, seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan perkalian. Sedangkan anak SD pada tahap berfikir kongkret sudah bisa memahami hokum kekekalan, tetapi belum bisa diajak untuk berfikir secara deduktif sehingga pembuktian dalil-dalil matematika sulit untuk dimengerti oleh siswa.

Siswa SD kelas atas (lima dan enam, dengan usia 11 tahun ke atas) sudah pada tahap berfikir formal. Siswa ini sudah bisa berfikir secara deduktif.Dari uraian di atas sudah jelas adanya perbedaan karakteristik matematika dan siswa SD. Oleh karenanya diperlukan adanya kemampuan khusus dari seorang guru untuk menjembatani antara dunia anak SD yang sebagian besar belum berfikir secara deduktif untuk mengerti ilmu matematika yang bersifat deduktif. Apa yang dianggap logis dan jelas oleh para ahli matematika dan apa yang dapat diterima oleh orang yang berhasil mempelajarinya (termasuk guru). Bisa jadi merupakan hal yang membingungkan dan tidak masuk akal bagi siswa SD.

Problematika pembelajaran matematika SD senantiasa menarik diperbincangkan mengingat kegunaannya yang penting untuk mengembangkan pola piker dan prasyarat untuk mempelajari ilmu-ilmu eksak lainnya, tetapi masih dirasakan sulit untuk diajarkan secara mudah oleh guru dan sulit diterima sepenuhnya oleh siswa SD. Kegunaan matematika bagi siswa SD adalah sesuatu yang jelas yang tidak perlu dipersoalkan lagi, terlebih pada era pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini. Hal yang terpenting untuk segera dipecahkan dalam masalah pembelajaran matematika SD adalah bagaimanakah mengajarkan matematika sehingga guru dan siswa senang dalam proses belajar mengajar?

C. Matematika adalah ilmu Terstruktur

Matematika merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan. Hal ini karena matematika dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan. Untuk mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang menjadi prasyarat, harus benar-benar dikuasai agar dapat memahami topik atau konsep selanjutnya.

Dalam pembelajaran matematika guru seharusnya menyiapkan kondisi siswanya agar mampu menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari mulai dari yang sedehana sampai yang lebih kompleks.

Contoh seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajari mulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang dan akhirnya volume kerucut. Untuk dapat mempelajari topik volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk / garis, titik sudut, sudut, bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi panjang, dan akhirnya volume balok.

1. Struktur matematika adalah sebagai berikut :

a. Unsur-unsur yang tidak didefinisikan

Misal: titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan dll. Unsur-unsur ini ada, tetapi kita tidak dapat mendefinisikannya.

b. Unsur-unsur yang didefinisikan

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan.

Misal: sudut, persegi panjang, segitiga, balok, lengkungan tertutup sederhana, bilangan ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK dll.

Aksioma dan postulat

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan dapat dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat.

Misal: – Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis.

- Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.

- Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus ke sebuah garis yang lain.

- Sebuah segitiga tumpul hanya mempunyai sebuah sudut yang lebih besar dari 900.

Aksioma tidak perlu dibuktikan kebenarannya tetapi dapat diterima kebenarannya berdasarkan pemikiran yang logis.

c. Dalil atau teorema

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif.

Misal: – Jumlah 2 bilangan ganjil adalah genap

- Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan 1800

- Jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku sama dengan Kuadrat sisi miringnya.

D. Matematika adalah ilmu tentang pola dan hubungan.

Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari keseragaman seperti keturutan, keterkaitan pola darisekumpiulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupakan representasinya untuk membuat generalisasi.

Misal : Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a2.

Contoh : a = 1 maka jumlahnya = 1 = 12

Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjil jumlahnya adalah 4 = 22. Berikutnya 1, 3, 5,dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 42 dan seterusnya.

Dari contoh-contoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan a2.

Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.

Misal : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6. Antara 102 = 100 dengan 100 = 10.

Demikian juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri dan statistika, dan analisis.

E. Matematika adalah bahasa simbol

Matematika yang tediri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat international. Pada arti berati simbol-simbol matematika di tulis dengan cara singkat tapi mempunyai arti yang luas.

Misal : √9 = 3, 3 + 5 = 8, 3! = 1 x 2 x 3

F. Matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu

Matematika sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain. Matematika sebagai suatu ilmu yang berfungsi melayani ilmu pengetahuan. Matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya

G. Kegunaan matematika

1. Matematika sebagai pelayan ilmu yang lain.

Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Contoh :

a. Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep propabolitas.

b. Perhitungan dengan bilangan imajiner digunakan untuk memecahkan masalah tentang kelistrikan.

c. Dalam ilmu kependudukan, matematika digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk dll.

d. Dengan matematika, Einstein membuat rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang dapat diperoleh dari ledakan atom.

e. Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan persamaan matematis untuk menyajikan teori atau model dari penelitian.

f. Dalam seni grafis, konsep transformasi geometric digunakan untuk melukis mosaik.

g. Dalam seni musik, barisan bilangan digunakan untuk merancang alat musik.

h. Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.

i. Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep Fungsi Kalkulus tentang Diferensial dan Integral.

a. Matematika digunakan manusia untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:

1. Memecahkan persoalan dunia nyata

2. Menghitung luas daerah

3. Menghitung laju kecepatan kendaraan

4. Mengunakan perhitungan matematika baik dalam pertanian, perikanan, perdagangan, dan perindustrian.

5. Menghitung jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain.

6. Membentuk pola pikir menjadi pola pikir matematis, orang yang mempelajarinya kritis, sistimatis dan logis.